知识点总结

第二章

两个重要极限：

$$\lim_{x \to 0}\frac{sinx}{x}=1$$ $$\lim_{x \to 0}(1+\frac{1}{x})^x=e$$

常用高阶导数：

$$sin^{(n)}x=sin(x+n\cdot\frac{\pi}{2}),n=1,2,...$$ $$cos^{(n)}x=cos(x+n\cdot\frac{\pi}{2}),n=1,2,...$$ $$(\ln(1+x))^{(n)}=\frac{(-1)^{n-1}(n-1)!}{(1+x)^n}$$ $$(\frac{1}{a-bx})^{(n)}=\frac{b^nn!}{(a-bx)^{n+1}}$$

莱布尼茨(Leibniz)公式

$$(uv)^{(n)}=\sum_{k=0}^{n} \textrm{C}_{n}^{k}u^{(n-k)}v^{(k)}$$

第三章

泰勒公式：

$$f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{f''(x_0)(x-x_0)^2}{2!}+...+\frac{f^{(n)}(x_0)(x-x_0)^n}{n!}+o[(x-x_0)^n]$$ $$f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{f''(x_0)(x-x_0)^2}{2!}+...+\frac{f^{(n)}(x_0)(x-x_0)^n}{n!}+\frac{f^{(n+1)}(\xi)(x-x_0)^{n+1}}{(n+1)!}$$

常用麦克劳林公式：

$$(1+x)^{\alpha}=1+\alpha x+\frac{\alpha(\alpha-1)}{2!}x^2+...+\frac{\alpha(\alpha-1)...(\alpha-n+1)}{n!}x^n+o(x^n)$$

第四章

曲率公式：

$$K=\frac{|y''|}{[1+(y')^2]^{\frac{3}{2}}}$$

第五章

定积分定义式：

$$\int_{a}^{b} f(x)\,dx=\lim_{||P||\to0}\sum_{i=1}^{n} f(\xi_i)\Delta x_i$$

第七章

面积公式：

$$A=\int_{c}^{d}(\phi(y)-\psi(y))\,dy$$ $$A=\int_{\alpha}^{\beta}\frac{1}{2}\rho^2(\theta)d\theta$$

弧长：

$$s=\int_{\alpha}^{\beta}\sqrt{[\phi'(t)]^2+[\psi'(t)]^2}\,dt$$ $$s=\int_{a}^{b}\sqrt{1+(y')^2}\,dx$$ $$s=\int_{\alpha}^{\beta}\sqrt{\rho^2(\theta)+[\rho'(\theta)]^2}\,d\theta$$

立体体积公式：

$$V=\int_{a}^{b}A(x)\,dx$$

旋转体体积公式：

$$V=\int_{c}^{d}\pi[f(x)]^2\,dx=\int_{c}^{d}\pi y^2dx$$

圆柱薄壳法：

$$V=\int_{a}^{b}2\pi x|y|\,dx$$

旋转体的侧面积：

$$S=\int_{a}^{b}2\pi|f(x)|\sqrt{1+[f'(x)]^2}\,dx$$

克服重力做功问题：
抽水做功

$$W=\int_{a}^{b}\rho gxA(x)\,dx$$

侧压力：

$$P=\int_{a}^{b}\rho gh(f(x)-g(x))\,dx$$

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